Математические изобретения, изменившие мир

Математические изобретения, изменившие мир Название проекта Математические изобретения, изменившие мир Автор проекта Анастасия Бронникова Руководитель проекта Мальцева ирина Бронникова Елена Владимировна Предмет,класс 9 класс Введение Что же такое математические изобретения? Математические изобретения – это чаще всего нематериальные изобретения. Теоремы, формулы, графики, какие-то специальные символы. Все это есть математические изобретения. Математики всегда опережали время, в котором живут, они всегда глядели дальше, в будущее. Многие открытия в «том», прошлом времени, не были признаны и стали полезны только после того как наступил какой-то «порог» времени, в котором срочно пригодилось именно то, чего еще нет. Я хотела бы рассказать об изобретении, которое помогло нашему миру измениться. Это - двоичная система счисления. Это удивительное изобретение придумал сам Джордж Буль, но вот основу всему этому положил Лейбниц Вильгельм Готфрид. Данное открытие позволило создать на основе двоичного счисления бинарный код, благодаря чему создание программ стало доступным абсолютно широкому кругу людей, не имеющих глубокие математические знания. Объект исследования Математические изобретения, которые изменили мир Предмет исследования Двоичная система счисления Цель Изучить двоичную систему счисления и её влияние на развитие современного программирования Задачи - изучить понятие двоичной системы и историю развития системы - найти ответ на вопрос: «Почему это изобретение позволило изменить мир?» - доказать одноклассникам, которые считают, что данная система является примитивной и изучать данную систему нет необходимости, что двоичная система счисления – основа современных ЭВМ. Теоретические понятия Система счисления (Нумерация) - это способ представления числа символами некоторого алфавита, которые называются цифрами. Путем длительного развития человечество пришло к двум видам систем счисления: позиционной и не позиционной. Непозиционная система счисления - В самой древней нумерации употреблялся лишь знак "|" для единицы, и каждое натуральное число записывалось повторением символа единицы столько раз, сколько единиц содержится в этом числе. Сложение в такой нумерации сводилось к приписыванию единиц, а вычитание - к их вычеркиванию. Для изображения больших чисел этот способ нумерации непригоден из - за своей громоздкости. В непозиционных системах счисления смысл каждого знака сохраняется и не зависит от его места в записи числа. К более современным непозиционным системам относят египетскую иероглифическую систему нумерации, в которой имелись определенные знаки для чисел: единица - I, десять - n, сто - ρ и так далее; эти числа называются узловыми. Все остальные натуральные числа, называемые алгоритмическими числами, записываются единообразно при помощи единственной арифметической операции - сложения. Например, число 243 запишется в виде ρρ nnnn III, 301 - в виде ρρρ I. К непозиционным системам относят и римскую нумерацию. За узловые числа в этой системе принимают числа: единица - I, пять - V, десять - X, пятьдесят - L, сто - С, пятьсот - D, тысяча – М. Например, запись числа 687 - DCLXXXII. Позиционная система счисления Наиболее удобными системами счисления оказались позиционные или поместные системы. Позиционная система счисления - это совокупность определений и правил, позволяющих записывать любое натуральное число с помощью некоторых значков или символов, каждый из которых имеет определенный смысл в зависимости от его места в записи числа (от его позиции). Кроме широко известной нам десятичной системы счисления возможны позиционные системы счисления с любым другим натуральным основанием. В разные исторические периоды многие народы широко использовали различные системы счисления: двоичную, двенадцатиричную, восьмиричную, шестидесятиричную, пятиричную, двадцатиричную и др. Определение двоичной системы счисления Двоичная система счисления - это позиционная система счисления с основанием 2. В этой системе счисления числа записываются с помощью двух символов 0 и 1. Чтобы не путать в какой системе счисления записано число, его снабжают указателем справа внизу. Например, число в десятичной системе 510, в двоичной 1012. Особую роль здесь играет число 2 и его степени: 2, 4, 8 и т.д. Самая правая цифра числа показывает число единиц, следующая цифра - число двоек, следующая - число четверок и т.д. Двоичная система счисления позволяет закодировать любое натуральное число - представить его в виде последовательности нулей и единиц. В двоичном виде можно представлять не только числа, но и любую другую информацию: тексты, картинки, фильмы и аудиозаписи. Инженеров двоичное кодирование привлекает тем, что легко реализуется технически. Использование систем счисления в информационных технологиях Создатели первых компьютеров столкнулись с проблемой представления и обработки информации. Так как компьютер это всего лишь машина, у которой нет ни интеллекта, ни логики, и мыслить она не способна, разработчикам пришлось найти такой способ представления информации, который был бы максимально прост для восприятия компьютером. Столь привычная для нас десятичная система оказалась неудобной для ЭВМ. Если в механических вычислительных устройствах, использующих десятичную систему, достаточно просто применить элемент с множеством состояний (колесо с девятью зубьями), то в электронных машинах надо было бы иметь 10 различных потенциалов в цепях. Наиболее просто реализуются элементы с двумя состояниями - триггеры. Поэтому естественным был переход на двоичную систему, т.е. системы по основанию 2. В этой системе всего две цифры - 0 и 1 . Каждая цифра называется двоичной (от английского binary digit - двоичная цифра). Сокращение от этого выражения привело к появлению термина бит, ставшего названием разряда двоичного числа. Бит - это минимальная единица измерения информации (0 или1). За битом следует байт, состоящий из восьми бит, затем килобайт (кбайт) - 1024 байта, мегабайт (мбайт) - 1024 кбайта, гигобайт (гбайт) - 1024мбайт. Таким образом, в компьютере для представления информации используется двоичное кодирование, так как удалось создать надежные работающие технические устройства, которые могут со стопроцентной надежностью сохранять и распознавать не более двух различных состояний (цифр). Все виды информации в компьютере кодируются на машинном языке, в виде логических последовательностей нулей и единиц. Из истории Зачатки двоичной системы наблюдаются у многих народов. Например, у древних египтян широкое распространение получили методы умножения и деления, основанные на принципе удвоения. Изобретение двоичного способа нумерации приписывают китайскому императору Фо Ги, жизнь которого относится к 4-му тысячелетию до новой эры. Оказывается, к открытию двоичной системы счисления имели отношение многие математики, в частности, Фибоначчи. В своей книге "Liber abaci" он сформулировал "задачу о выборе наилучшей системы весовых гирь для взвешивания грузов на рычажных весах". В русской историко-математической литературе эта задача известна под названием Баше-Менделеева в честь французского математика 17-го века Баше де Мезириака, поместившего ее в своем "Сборнике приятных и занимательных задач" (1612 г.), и выдающегося русского химика Дмитрия Ивановича Менделеева, который к концу жизни стал директором Главной Палаты мер и весов России и интересовался этой задачей по долгу своей службы. Но автор двоичной арифметики в истории науки доподлинно известен: это известный немецкий математик Лейбниц (1646-1716), который в 1697 г. разработал правила двоичной арифметики. Лейбниц настолько был восхищен своим открытием, что в его честь выпустил специальную медаль, на которой были даны двоичные изображения начального ряда натуральных чисел - возможно, это был тот редкий случай в истории математики, когда математическое открытие было удостоено такой высокой почести. Лейбниц, однако, не рекомендовал двоичную арифметику для практических вычислений вместо десятичной системы, но подчеркивал, что "вычисление с помощью двоек, то есть 0 и 1, в вознаграждение его длиннот является для науки основным и порождает новые открытия, которые оказываются полезными впоследствии, даже в практике чисел, а особенно в геометрии: причиной чего служит то обстоятельство, что при сведении чисел к простейшим началам, каковы 0 и 1, всюду выявляется чудесный порядок". Начиная со студенческих лет и до конца жизни он занимался исследованием свойств двоичной системы счисления, ставшей в дальнейшем, основной при создании компьютеров. Он придавал ей некий мистический смысл и считал, что на ее базе можно создать универсальный язык для объяснения явлений мира и использования во всех науках, в том числе в философии. Сохранилось изображение медали, нарисованное В. Лейбницем в 1697 г., поясняющее соотношение между двоичной и десятичной системами исчисления. Непонятым оказался еще один выдающийся англичанин, живший в те же годы, - Джордж Буль (1815 - 1864). Разработанная им алгебра логики (алгебра Буля) нашла применение лишь в следующем веке, когда понадобился математический аппарат для проектирования схем ЭВМ, использующих двоичную систему счисления. Но только в 1937 году двоичная система стала использоваться более продуктивней. "Соединил" математическую логику с двоичной системой счисления и электрическими цепями американский ученый Клод Шенон. В том же 1937 он выступил с диссертацией на тему «Символический анализ релейных и переключательных схем в MIT». Это полностью перевернуло мир. Вся цифровая техника основана на его диссертации. А вот в ноябре 1937 года Джордж Штибиц создал компьютер «Model K», который впервые выполнял двоичное сложение. Блестящие предсказания Лейбница сбылись только через два с половиной столетия, когда выдающийся американский ученый, физик и математик Джон фон Нейман предложил использовать именно двоичную систему счисления в качестве универсального способа кодирования информации в электронных компьютерах ("Принципы Джона фон Неймана"). Таким образом, как подчеркивают многие выдающиеся математики, открытие вавилонянами позиционного принципа, а затем индусами десятичной системы счисления, основанной на позиционном принципе, а также разработку Лейбницем двоичной арифметики по праву можно отнести к разряду действительно эпохальных математических открытий, существенно повлиявших на развитие материальной культуры, в частности, на развитие компьютерной техники. Плюсы и минусы двоичной системы счисления Из всех систем счисления особенно проста и поэтому интересна для технической реализации в компьютерах двоичная система счисления. Эта система имеет ряд преимуществ перед другими системами: •для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток — нет тока, намагничен — не намагничен и т.п.), а не, например, с десятью, — как в десятичной; •представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво; •возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации; •двоичная арифметика намного проще десятичной. Недостаток двоичной системы •быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел. Являясь удобной для компьютеров, для человека двоичная система неудобна из-за ее громоздкости и непривычной записи; •проблема представления отрицательных чисел; •"нулевая" избыточность классического двоичного способа представления чисел. Особенно неприятен третий недостаток. "Нулевая" избыточность двоичного представления означает, что в системе счисления отсутствует механизм обнаружения ошибок, которые, к сожалению, неизбежно возникают в компьютерных системах под влиянием внешних и внутренних факторов. В условиях, когда человечество все чаще полагается на компьютер при решении сложнейших задач управления ракетами, самолетами, атомными реакторами, вопрос об эффективных механизмах обнаружения ошибок выдвигается на передний план. Ясно, что компьютеры, основанные на двоичной системе счисления, не всегда могут эффективно решать эту проблему. Применение •Активно используется в цифровых устройствах, поскольку является наиболее простой и соответствует требованиям: •Двоичная арифметика является довольно простой. Простыми являются таблицы сложения и умножения — основных действий над числами. •В английской системе мер. При указании линейных размеров в дюймах по традиции используют двоичные дроби, а не десятичные, например: 5¾″, 7/16″, 3/32″ и т. д. Заключение В какой системе счисления лучше записывать числа - это вопрос удобства и традиций. С технической точки зрения, в ЭВМ удобно использовать двоичную систему, так как в ней для записи числа используется всего две цифры 0 и 1, которыми можно представить двумя легко различимыми состояниями «нет сигнала» и «есть сигнал». На двоичной системе счисления построено все программирование, без которого мы бы с вами сейчас не сидели на сайтах, не играли в игры и не могли бы работать за компьютером. Ведь все вышло из двоичной системы. Изучая источники по теме «Системы счисления» мы получили возможность провести исторический анализ, исследовать различные формы записи чисел, систематизировать материал и выявить различные спектры применения. Используемая литература 1.Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики: Пособие для учащихся 5-6 кл. сред. шк. М.: Просвещение, 1989. -287с. 2.Сергеева И.И., Мазулевская А.А., Тарасова Н.В. Информатика: учебник. – М.: ИД «Форум»: ИНФРА – М, 2007. Интернет-ресурсы [1] [2] [3] [4] Справка Джордж Буль Джордж Буль – английский математик и логик. Профессор математики Королевского колледжа Корка (ныне Университетский колледж Корк) с 1849. Один из предтеч математической логики. Родился в 1815 в ничем не примечательной семье небогатого ремесленника. Отец Джорджа увлекался математикой, но маленький мальчик не смог сразу распознать свой талант и только к 17 годам он стал заниматься высшей математикой. Также Джордж Буль писал статьи и мемуары. И все они были о математических и физических науках. В его честь в программировании назван тип Boolean. Лейбниц Вильгельм Лейбниц Вильгельм – Родился в 1646 году. Он не только математик, но и философ, логик, механик, физик, дипломат, изобретатель и языковед. Родился он в семье философа. Лейбниц любил читать книги, но его учитель был утвержден в том, что это мешает маленькому мальчику заниматься. Так бы у него и отобрали «взрослые», по словам учителя» книги, если бы мальчика во время не заметил ученый, живший по соседству. Ученый добился того, чтобы маленького мальчика впустили в библиотеку отца, которая все это время была под замком. «Он гений». Готфрид Вильгельм Лейбниц — немецкий философ, математик, физик, языковед. С 1676 на службе у ганноверских герцогов. Основатель и президент (с 1700) Бранденбургского научного общества (позднее — Берлинская АН). По просьбе Петра I разработал проекты развития образования и государственного управления в России. Реальный мир, по Лейбницу, состоит из бесчисленных психических деятельных субстанций — монад, находящихся между собой в отношении предустановленной гармонии («Монадология», 1714); существующий мир создан богом как «наилучший из всех возможных миров» («Теодицея», 1710). В духе рационализма Г. Лейбниц развил учение о прирожденной способности ума к познанию высших категорий бытия и всеобщих и необходимых истин логики и математики («Новые опыты о человеческом разуме», 1704). Предвосхитил принципы современной математической логики («Об искусстве комбинаторики», 1666). Один из создателей дифференциального и интегрального исчислений. Клод Шеннон Клод Шеннон - американский математик, один из создателей математической теории информации; автор трудов по теории релейно-контактных схем, математической теории связи, кибернетики. Родился в 1916. Является основателем теории «информации», которая нашла применение в современных высокотехнологических системах связи. Шеннон внес огромный вклад в теорию вероятностных схем, теорию автоматов и теорию систем управления — области наук, входящие в понятие «кибернетика». В 1948 году предложил использовать слово «бит» для обозначения наименьшей единицы информации). Джордж Роберт Штибиц Джордж Роберт Штибиц – Родился в 1904. Один из международнопризнанных основоположников современных цифровых компьютеров. Работал исследователем в «Bell Labs», известен своими работами в 1930-х и 1940-х годах по реализации булевой логики цифровыми схемами с использованием электромеханических реле как переключающих элементов. (Bell Laboratories (сокращенно – «Bell Labs») - бывшая американская, а ныне франко-американская корпорация, крупный исследовательский центр в области телекоммуникаций, электронных и компьютерных систем.) Джон фон Нейман, или Йоганн фон Нейман Джон фон Нейман, или Йоганн фон Нейман родился 28 декабря 1903 года в городе Будапешт — венгро-немецкий математик, сделавший важный вклад в квантовую физику, квантовую логику, функциональный анализ, теорию множеств, информатику, экономику и другие отрасли науки. Наиболее известен как праотец современной архитектуры компьютеров (так называемая архитектура фон Неймана), применением теории операторов к квантовой механике (см. Алгебра фон Неймана), а также как участник Манхэттенского проекта и как создатель теории игр и концепции клеточных автоматов. Родом из Венгрии, сын преуспевающего будапештского банкира, фон Нейман был продуктом той интеллектуальной среды. из которой вышли такие выдающиеся физики, как Эдвард Теллер, Лео Сциллард, Денис Габор и Юджин Вигнер. Джон выделялся среди них своими фенеменальными способностями. В 6 лет он перебрасывался с отцом остротами на древнегреческом, а в 8 освоил основы высшей математики. В возрасте 20—30 лет, занимаясь преподавательской работой в Германии, он внес значительный вклад в развитие квантовой механики — краеугольного камня ядерной физики, и разработал теорию игр — метод анализа взаимоотношений между людьми, который нашел широкое применение в различных областях, от экономики до военной стратегии. На протяжении всей жизни он любил поражать друзей и учеников своей способностью производить в уме сложные вычисления. Он делал это быстрее всех, вооруженных бумагой, карандашом и справочниками. Когда же фон Нейману приходилось писать на доске, он заполнял ее формулами, а потом стирал их настолько быстро, что однажды кто-то из его коллег, понаблюдав за очередным объяснением, пошутил: "Понятно. Это доказательство методом стирания".